Может ли мобилизованный военный обратиться за помощью в государственное лечебное учреждение во время отпуска по ранению?

Нет, он продлить отпуск без командира и МО РФ не может.

Что касается лечения --в госпиталь всё же.

Федеральный закон от 21.11.2011 N 323-ФЗ (ред. от 28.12.2022) "Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.03.2023)

Статья 25. Права военнослужащих и лиц, приравненных по медицинскому обеспечению к военнослужащим, а также граждан, проходящих альтернативную гражданскую службу, граждан, подлежащих призыву на военную службу (направляемых на альтернативную гражданскую службу), и граждан, поступающих на военную службу или приравненную к ней службу по контракту, на охрану здоровья

...

3. Военнослужащие и приравненные к ним лица имеют право на получение медицинской помощи в ведомственных медицинских организациях, а при их отсутствии или при отсутствии в ведомственных медицинских организациях отделений соответствующего профиля, специалистов либо специального медицинского оборудования - на получение медицинской помощи в порядке, установленном Правительством Российской Федерации, за счет бюджетных ассигнований федерального бюджета, предусмотренных на эти цели федеральным органам исполнительной власти и федеральным государственным органам, в которых федеральным законом предусмотрена военная служба или приравненная к ней служба.

4. Порядок организации медицинской помощи военнослужащим и приравненным к ним лицам устанавливается Правительством Российской Федерации, особенности организации оказания медицинской помощи военнослужащим и приравненным к ним лицам, в том числе порядок их освобождения от исполнения обязанностей военной службы (служебных обязанностей) в связи с заболеванием и иными причинами, устанавливаются федеральными органами исполнительной власти и федеральными государственными органами, в которых федеральным законом предусмотрена военная служба или приравненная к ней служба.

...

Если будет помощь нужна экстренно, то не откажут.

Федеральный закон от 21.11.2011 N 323-ФЗ (ред. от 28.12.2022) "Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации"

Да, он может это сделать, НО только в том случае, если по месту проведения отпуска по ранению НЕТ военного госпиталя))))

Только в этом случае.

На основании нижеуказанного достаточно справки лечебного заведения.

Указ Президента РФ от 16.09.1999 N 1237 (ред. от 21.12.2020) «Вопросы прохождения военной службы» (вместе с «Положением о

о порядке прохождения военной службы»)

Статья 29. Порядок предоставления основного отпуска

18. Военнослужащим, заболевшим во время основного или дополнительного отпуска, кроме отпуска по личным обстоятельствам, основной или дополнительный отпуск продлевается на соответствующее количество дней болезни. Продление отпуска в этом случае осуществляется командиром воинской части на основании справки из лечебного учреждения.

Вам следует предъявить командиру части справку из мед. учреждения для продления отпуска на количество дней болезни.

Вы вправе это сделать через военный госпиталь.