Необходимость регистрации договора аренды - влияет ли дата регистрации дополнительного соглашения?

Купил помещение с долгосрочным договором аренды. Старый собственник помещения заключил с арендатором дополнительное соглашение о снижении размера аренды нак срок 6 месяцев. До покупки мною помещения это соглашение не прошло регистрацию в Росреестре. Я стал собственником помещения в период, относящийся к этим 6 месяцам, арендатор платил мне арендную плату в уменьшенном размере, руководствуясь этим соглашением. Соглашение было зарегистрировано в Росреестре почти через год после перехода ко мне права собственности. Читаю судебную практику: По смыслу статей 164, 165, пункта 3 статьи 433, пункта 2 статьи 651 ГК РФ государственная регистрация договора и дополнительных соглашений к нему осуществляется в целях создания возможности для заинтересованных третьих лиц знать о долгосрочной аренде. Поскольку сторонами не представлено доказательств регистрации в установленном законом порядке соглашения, постольку оно не может быть расценено как дополнительное соглашение к договору аренды, ввиду несоблюдения формы, чего требуют положения п. 1 ст. 452 ГК РФ. Вопрос: Важно или неважно, когда было зарегистрировано такое дополнительное соглашение, - до перехода или после перехода ко мне права собственности? Примечание: От этого зависит, могу ли я взыскать с арендатора плату в размере, установленном договором (в полном размере), а не доп. соглашением (в уменьшенном размере). С уважением, Игорь