Работодатель может отказать в предоставлении одного дня отпуска или без содержания для обследования?

Можете взять за свой счёт. Если не отпускает как в день отпуска. Имеете право. Потом можете предоставить справку что были на обследовании или иной документ для подтверждения уважительной данной причины.

В соответствии со ст. 128 ТК РФ:

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

участникам Великой Отечественной войны — до 35 календарных дней в году;

работающим пенсионерам по старости (по возрасту) — до 14 календарных дней в году;

родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), — до 14 календарных дней в году;

работающим инвалидам — до 60 календарных дней в году;

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников — до пяти календарных дней;

в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Вы вправе просить работодателя предоставить отпуск без сохранения заработной платы, но дать его или нет, решает работодатель.

Удачи!