Какая доля принадлежит взрослому сыну в новой квартире, если она была приобретена на средства, не являющиеся его собственностью?

Сын не сможет отсудить у Вас квартиру, ее долю. При обращении в суд и получении копии искового заявления - обратитесь к адвокату.

Что значит "желает отсудить"? Если он говорит о своем желании, то это не свидетельствует о том, что его желание обратиться в суд будет воплощено. Если же он все же обратится в суд - тогда о перспективах его иска можно будет сделать выводы по содержанию иска и приложенных к ним документов. Вам же в данном случае необходимо будет получить из суда его исковое заявление с копиями документов, изучить их и подготовить свою позицию. Не получается самостоятельно - обращайтесь к адвокату. По изложенному Вами - правовых оснований для удовлетворения его требований в данном виде не вижу, но, повторюсь, лучше будет изучить сам иск и приложенные к нему документы. Не иначе.

Вы и в самом деле нарушили права несовершеннолетнего сына. Судя по всему, вы просто не предоставили опекунскому совету новые правоустанавливающие документы, а сами сотрудники проявили головотяпство. Чьи это сбережения - неважно, речь идёт о том, что у ребёнка была квартира, и он её лишился, с точки зрения органов опеки.

Если сын сумеет восстановить срок исковой давности, то всё может быть...

Желаю удачи.