Могут ли забрать машину на штрафстоянку за езду без водительского удостоверения? Какие статьи закона касаются данной ситуации?

Не могут. Управление транспортным средством водителем, не имеющим при себе документов на право управления им - это статья 12.3 часть 2 КоАП РФ. А в силу статьи 27.13 КоАП РФ, в целях пресечения нарушений правил эксплуатации, использования транспортного средства и управления транспортным средством соответствующего вида, предусмотренных частями 2 и 3 статьи 11.8, частью 1 статьи 11.8.1, статьями 11.9, 11.26, 11.29, частью 4 статьи 11.33, частью 1 статьи 12.3, частью 2 статьи 12.5, частями 1, 2 и 4 статьи 12.7, частями 1 и 3 статьи 12.8, частями 4 и 5 статьи 12.16 (в части несоблюдения требований, предписанных дорожными знаками, запрещающими остановку или стоянку транспортных средств, при их применении со знаком дополнительной информации (табличкой), указывающим, что в зоне действия данных дорожных знаков осуществляется задержание транспортного средства), частями 2 - 4 и 6 статьи 12.19, частями 1 - 6 статьи 12.21.1, частью 1 статьи 12.21.2, статьями 12.21.5, 12.26, частью 3 статьи 12.27, частью 2 статьи 14.38 настоящего Кодекса, применяются задержание транспортного средства, то есть исключение транспортного средства из процесса перевозки людей и грузов путем перемещения его при помощи другого транспортного средства и помещения в ближайшее специально отведенное охраняемое место (на специализированную стоянку). Как видите, часть 1 статьи 12.3 КоАП РФ там есть, а части 2 - нет. Поэтому и не могут. Такие дела.