2) Какие аргументы можно использовать в возражении к иску о месте жительства ребенка и порядке общения?

Можно и нужно последовательно.

Можете одновременно подать. Только для возражений суд устанавливает срок, как правило. Поэтому ориентируйтесь на него. Для встречного иска сроков нет, он подается в любой момент до вынесение итогового решения по делу.

Нормы права:

3. Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей.

При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд учитывает привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое).

По требованию родителей (одного из них) в порядке, установленном гражданским процессуальным законодательством, и с учетом требований абзаца второго настоящего пункта суд с обязательным участием органа опеки и попечительства вправе определить место жительства детей на период до вступления в законную силу судебного решения об определении их места жительства.

ст. 65, "Семейный кодекс Российской Федерации" от 29.12.1995 N 223-ФЗ (ред. от 31.07.2023)

Подавайте возражения относительно заявленных требований и встречное исковое заявление в одном судебном заседании.

Можете по отдельности

Можно отдельно, можно совместно. Но для экономии времени судебного разбирательства лучше подавать одновременно. При этом встречное исковое заявление должно быть подано до принятия судом решения по делу. Предъявление встречного иска осуществляется по общим правилам предъявления иска (письменная форма, оплата госпошлины, направление сторонам и т д). Возражения же могут быть как письменные, так и устные, оглашенные в судебном заседании.

Подавать эти два документа одновременно

Встречный иск теоретически может быть и не принят.

Возражения подать Ваше безусловное право.

Поэтому их надо заявлять отдельными ходатайствами, оформлять как отдельные документы