Не очень разбираюсь в впоросе, но ведь ремонт плиты это обязанность ук?

В УК Требование -не удовлетворят иск в суд в соответствии со ст 131-132 ГПК РФ

Управа Района не производит выполнение ваших требований

Да, Вы правы.

Балконные плиты (плиты лоджии) входят в состав общего имущества многоквартирного дома как ограждающие несущие конструкции (п. 2 Правил N 491, утв. Постановлением Правительства РФ от 13.08.2006 N 491).

Таким образом, к общему имуществу в многоквартирном доме относятся только балконные плиты (плиты лоджий), пользование которыми и их содержание осуществляются в порядке, установленном для общего имущества собственников помещений в МКД.

Да, обязанность УК. Обрашайтесь к ним письменно

В вашем случае следует обратиться с жалобой (ст. 2 Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан") в надзорный орган - ГЖИ.

Обращаю ваше внимание, что в жалобе следует подробно указать все обстоятельства известные вам по данному вопросу, ссылки на нормы права, которые обосновывают вашу правовую позицию, а также желательно заявить конкретные требования по пресечению нарушения ваших прав надзорным органом. В противном случае велика вероятность получения формального ответа ("отписки"), без надлежащего разрешения вашей проблемы по-существу.

В случае, если ответ вас не удовлетворит, он не будет законным и обоснованным, проблема не будет решена, следует обратиться с заявлением на бездействие ГЖИ в Прокуратуру (ст. 10 Федеральный закон от 17.01.1992 N 2202-1 (ред. от 24.07.2023) "О прокуратуре Российской Федерации"). Если вопрос опять не будет решен - в суд, в порядке ст 131, 132 ГПК.