Я переехал в другой город по работе, прописку не менял, нужно ли идти в военкомат в городе, в который я переехал?

Ходить не обязательно. Достаточно направить уведомление.

В соответствии со ст. 10 ФЗ "О воинской обязанности и военной службе" от 28.03.1998 N 53-ФЗ в целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:

сообщить в письменной или электронной форме через Портал государственных и муниципальных услуг (функций) в военный комиссариат либо в местную администрацию соответствующего поселения, муниципального или городского округа, осуществляющую первичный воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы (учебы) или должности, сведения о переезде на новое место пребывания, не подтвержденные регистрацией, либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию либо явиться в военный комиссариат в двухнедельный срок со дня наступления указанных событий (при отсутствии уведомления от военного комиссариата об изменении сведений в автоматизированном режиме с учетом требований статьи 8.1 настоящего Федерального закона)