Можно ли добавить требование об ограничении родительских прав в начатое дело?

Такое требование можете добавить.

Закон не запрещает включить в уже идущее дело новое требование, суд рассмотрит все вместе, если это логично и не нарушает процессуальные правила.

Согласно ст. 151 ГПК РФ судья может объединить несколько связанных требований в одно производство, чтобы разрешить их комплексно.

Согласно 73 СК РФ, суд может ограничить права, если оставление ребёнка с родителем опасно для него, по обстоятельствам, не зависящим от родителя, либо из-за поведения родителя, но при отсутствии достаточных оснований для полного лишения прав.

Вы заявляете ходатайство о дополнении исковых требований.

В обосновании необходимо связать новое требование с уже рассматриваемыми вопросами.

Например: спор о месте жительства и алиментах напрямую связан с безопасностью ребёнка, поэтому есть смысл сразу оценить, не требуется ли временное ограничение прав одного из родителей для его защиты.

Суд оценит, способствует ли такое объединение правильному и быстрому разрешению спора.

Наличие спора о месте жительства или алиментах не создаёт оснований для ограничения прав.

Вам придётся представить доказательства, подтверждающие опасность для ребёнка, например, факты пренебрежения обязанностями, агрессивного поведения, наличия заболевания, создающего угрозу.

Суд будет исходить из интересов ребёнка.

При рассмотрении требования об ограничении родительских прав закон (ст. 73 СК РФ, ст. 45 ГПК РФ) предусматривает обязательное участие прокурора и органа опеки и попечительства, они предоставят свои заключения по делу.