Законно ли прокопать ров без проекта и могу ли я не платить за трубу?

Непонятно написано. Но если все действия проходят не на Вашей земле - вполне возможно, что все описанные действия, нужные мсенно Вам, делать придется Вам самим.

Прокопка рва и сброс воды на соседний участок или в поле без согласования и проекта незаконны. За обустройство и покупку трубы для личного заезда на территорию платите вы, так как это ваше личное улучшение, но сама канава и работы по ее изменению вне вашего участка — зона ответственности администрации или инициаторов работ.

Нужно разрешение от ОМСУ на земляные работы. Проект необязателен. Что касается должна/не должна - это вы решаете сами - вам нужно - вам и делать

Правомерность прокладки рва без проекта и разрешения**

Согласно Градостроительному кодексу РФ, для строительства объектов, которые являются капитальными (например, мелиоративные системы), требуется проектная документация и разрешение на строительство. Если речь идёт о временном водоотводном канале, возможно, он не будет считаться капитальным объектом. Однако в любом случае, если ров затрагивает интересы соседей и муниципального образования, необходимо соблюдение местных правил благоустройства и землепользования. Администрация не вправе самовольно принимать решение о строительстве такого сооружения без соответствующего проекта, если только не действует в рамках чрезвычайной ситуации. Вам следует запросить в администрации документы, обосновывающие такие работы.