Квартира снята по договору найма без его продления. Что делать в данной ситуации?

В соответствии со статьей 684 ГК РФ не позднее чем за три месяца до истечения срока договора найма жилого помещения наймодатель должен предложить нанимателю заключить договор на тех же или иных условиях либо предупредить нанимателя об отказе от продления договора в связи с решением не сдавать в течение не менее года жилое помещение внаем. Если наймодатель не выполнил этой обязанности, а наниматель не отказался от продления договора, договор считается продленным на тех же условиях и на тот же срок.

Ваш договор автоматически пролонгировался на тех же условиях, что и первоначальный. Условия о прекращении договора необходимо посмотреть в самом договоре.

Обращаю ваше внимание и на тот факт, что если условия расторжения не описаны в договоре, то необходимо руководствоваться нормами ГК РФ (статьи 450-452).