Как взыскать задолженность с арендатора при отсутствии подписанного договора-аренды?

К сожалению Вы не конкретизировали какое имущество Вами передано в аренду.

Если недвижимость, то согласно ст. 651, 654 Договор не будет считаться заключенным, поскольку не соблюдено правило о составлении такого договора в письменной форме в виде одного документа подписанного сторонами, а также не согласовано условие о размере арендной платы.

Если иное имущество, то и здесь говорить о заключенности договора тоже вряд ли возможно, поскольку нет ни одного документа подписанного сторонами, чтобы хотя бы попытаться доказать существование по факту отношений. Кроме того, в соответствии со ст. 607 ГК РФ в договоре аренды должны быть указаны данные, позволяющие определенно установить имущество, подлежащее передаче арендатору в качестве объекта аренды. При отсутствии этих данных в договоре условие об объекте, подлежащем передаче в аренду, считается не согласованным сторонами, а соответствующий договор не считается заключенным. Поскольку ни один документ не подписан, то нельзя говорить о заключенности договора.

При таких обстоятельствах можно попытаться взыскать не арендную плату, а неосновательное обогащение Арендатора. Правда необходимо будет доказать факт передачи имущества в аренду, срок пользования имуществом и рыночную стоимость аренды такого имущества, что не всегда возможно.