Возможно ли прописать несовершеннолетних детей в квартире после выписки отца, если мать никогда не была прописана там, а в квартире проживает только старший брат их отца?

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов. (ч. ст. 20 ГК РФ).

Поэтому ребенок может оставаться проживать со своим дядей, если ему исполнилось 14 лет.