Может ли подрядчик предложить увеличение стоимости договора после более чем месячной работы?

Можно, при наличии обоснованных причин

ст. 709 ГК РФ

Статья 709. Цена работы

5. Если возникла необходимость в проведении дополнительных работ и по этой причине в существенном превышении определенной приблизительно цены работы, подрядчик обязан своевременно предупредить об этом заказчика. Заказчик, не согласившийся на превышение указанной в договоре подряда цены работы, вправе отказаться от договора. В этом случае подрядчик может требовать от заказчика уплаты ему цены за выполненную часть работы.

Подрядчик, своевременно не предупредивший заказчика о необходимости превышения указанной в договоре цены работы, обязан выполнить договор, сохраняя право на оплату работы по цене, определенной в договоре.

6. Подрядчик не вправе требовать увеличения твердой цены, а заказчик ее уменьшения, в том числе в случае, когда в момент заключения договора подряда исключалась возможность предусмотреть полный объем подлежащих выполнению работ или необходимых для этого расходов.

При существенном возрастании стоимости материалов и оборудования, предоставленных подрядчиком, а также оказываемых ему третьими лицами услуг, которые нельзя было предусмотреть при заключении договора, подрядчик имеет право требовать увеличения установленной цены, а при отказе заказчика выполнить это требование - расторжения договора в соответствии со "статьей 451" настоящего Кодекса.