Как и я была прописана в квартире своих родителей, которые не дали своего согласия на прописку ребенка.

Жилищный кодекс РФ

Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи

1. Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя - других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы.

На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.

Обратите внимание на последнюю строчку данной части статьи!

С уважением,

II. Пользование жилым помещением по договору социального найма жилого помещения

7. Право пользования жилым помещением по договору социального найма жилого помещения возникает на основании договора, заключенного (в письменной форме) в соответствии с Типовым договором социального найма жилого помещения, утвержденным Правительством Российской Федерации.

...

9. В качестве пользователя жилым помещением наниматель имеет право:

а) вселять в занимаемое жилое помещение иных лиц. Вселение осуществляется с согласия (в письменной форме) членов семьи нанимателя, в том числе временно отсутствующих, и наймодателя. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей согласие остальных членов семьи и наймодателя не требуется...

И Вы и жена имели и имеете право регистрировать ребенка без согласия.

Кроме того, инспектор должен установить что ребенок прожвивает/пребывает более 90 дней по одному и тому же адресу. Вы можете сказать что ребенко все это время жил по два-два с половиной месяца у каждого из родителя, и пусть они пробуют доказать обратное.