Проблемы с мобильным - возможность возврата или обмена и отсутствие договора купли-продажи

Это технически сложный товар, который по ст.18 Закона "О защите прав потребителей" вернуть можно, если в течение 15 дней после покупки проявится неисправность или недостаток, а далее - только в случаях, указанных в законе (ст. 18 Закона о защите прав потребителей). Если таких случаев нет - можете требовать только ремонт. Претензию написать можете, но закон делать это Вас не обязывает. Если продавец настаивает на экспертизе - его право (но делать он это должен за свой счет и результат экспертизы для Вас необязателен). Если не вернут деньги под любыми предлогами, не тратьте время и пишите жалобу в Роспотребнадзор или обращайтесь с иском в суд (ждать проведения экспертиз и получения ответа на претензию не обязаны).

Исковое заявление подается по правилам ст. 131, 132 Гражданского процессуального кодекса РФ. Госпошлиной для истца иски, вытекающие из отношений по защите прав потребителей, не облагаются, и подобные иски можно подавать в суд по своему месту жительства. Если цена иска не превышает 50 000 руб, то иск подается в мировой суд, в остальных случаях - в районный суд. В суде можете ходатайствовать о назначении экспертизы (ст. 79 ГПК РФ).

Закон РФ от 07.02.1992 N 2300-1 "О защите прав потребителей"

Статья 18. Права потребителя при обнаружении в товаре недостатков

невозможность использования товара в течение каждого года гарантийного срока в совокупности более чем тридцать дней вследствие неоднократного устранения его различных недостатков...