Меня интересует вопрос-имеют ли право и должны ли делать записи (о приёме на работу, увольнении, взысканиях и либо поощрениях)

Должны, как и всякий работодатель (за указанным исключением).

ТК РФ.

"Статья 66. Трудовая книжка

Трудовая книжка установленного образца является основным документом о трудовой деятельности и трудовом стаже работника.

Форма, порядок ведения и хранения трудовых книжек, а также порядок изготовления бланков трудовых книжек и обеспечения ими работодателей устанавливаются Правительством Российской Федерации.

Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.

В трудовую книжку вносятся сведения о работнике, выполняемой им работе, переводах на другую постоянную работу и об увольнении работника, а также основания прекращения трудового договора и сведения о награждениях за успехи в работе. Сведения о взысканиях в трудовую книжку не вносятся, за исключением случаев, когда дисциплинарным взысканием является увольнение.

По желанию работника сведения о работе по совместительству вносятся в трудовую книжку по месту основной работы на основании документа, подтверждающего работу по совместительству".

О взысканиях сведения не вносятся.

Правила

ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей

(утв. постановлением Правительства РФ от 16 апреля 2003 г. N 225)

(с изменениями от 6 февраля 2004 г.)

"5. Сведения о взысканиях в трудовую книжку не вносятся, за исключением случаев, когда дисциплинарным взысканием является увольнение.

24. В трудовую книжку вносятся следующие сведения о награждении (поощрении) за трудовые заслуги:

а) о награждении государственными наградами, в том числе о присвоении государственных почетных званий, на основании соответствующих указов и иных решений;

б) о награждении почетными грамотами, присвоении званий и награждении нагрудными знаками, значками, дипломами, почетными грамотами, производимом организациями;

в) о других видах поощрения, предусмотренных законодательством Российской Федерации, а также коллективными договорами, правилами внутреннего трудового распорядка организации, уставами и положениями о дисциплине.

25. Записи о премиях, предусмотренных системой оплаты труда или выплачиваемых на регулярной основе, в трудовые книжки не вносятся".