Считается ли моя дочь иждивенцем, если она проходит интернатуру в медицинском институте (ей 22 года)?

Трудовое законодательство не дает достаточно полное понятие такого слова как "иждивенец". Например в ст. 179 ТК РФ сказано -

При равной производительности труда и квалификации предпочтение в оставлении на работе отдается: семейным - при наличии двух или более иждивенцев (нетрудоспособных членов семьи, находящихся на полном содержании работника или получающих от него помощь, которая является для них постоянным и основным источником средств к существованию); лицам, в семье которых нет других работников с самостоятельным заработком

Анализируя первый абзац приходим к выводу, что ИЖДИВЕНЦЕМ считается лицо обладающее двумя признаками:

1. оно нетрудоспособно;

2. оно находится на полном содержании работника.

Действующее законодательство под нетрудоспособностью обычно понимает инвалидность или малый возраст.

Кроме того, рассматриваемая статья к иждивенцам относит лиц, которые получают от работника помощь, которая является для них постоянным и основным источником средств к существованию.

Таким образом, все зависит от дохода дочери.

Главное, что все эти случаи применяются ТОЛЬКО при проведении мероприятий по сокращении численности и (или) штатов. В Вашем случае не совсем понятно по какому основанию с Вами не хотят продлевать договор. Могу только предположить, что у Вас заключен срочный трудовой договор, срок которого истекает. Если так, то совсем иной случай, нужно смотреть законность заключения самого срочного трудового договора, т.к. он может заключаться только в строго определенных случаях. И если срочный трудовой договор заключен в нарушении ТК РФ, то он признается бессрочным и суд восстанавливает работника в прежней должности.