За что придется заплатить и на какую примерно сумму рассчитывать при вступлении в наследство?

Заплатить придется за выдачу свидетельства о наследовании (0,3% для близких родственников и 0,6% для всех остальных) от стоимости имущества. Кроме того, скорее всего у Вас будут расходы по составлению запросов (зависит от того, что входит в наследуемое имущество).

Тарифы можно посмотреть в налоговом кодексе ст.333.24. Но кроме тарифов нотариусы имеют право требовать оплаты "технических услуг", поэтому точную стоимость уточняйте у нотариусу, к которому обратитесь