Как продлить аренду помещения, если оно считается бесхозным уже более 10 лет?

Заключать нужно с собственником, запрашивайте документы (ст. 209, 606 ГК РФ)

для начала необходимо установить кто собственник, если он не будет установлен, то имущество будет передано на баланс города и далее обратитесь в алм-цию города и заключите договор аренды ( ст 606 ГК РФ), иначе ваше пользование помещением могут признать незаконным владением (ст 191 УК РФ)

Вам не нужно подписывать договор аренды, а настаивать на его автоматическом продлении без изменения цены договора.

И никто Вас не прижмёт - нет зарегистрированного права собственности на помещение.

Ст. 305 ГК РФ применяется:

"Права, предусмотренные статьями 301 - 304 настоящего Кодекса, принадлежат также лицу, хотя и не являющемуся собственником, но владеющему имуществом на праве пожизненного наследуемого владения, хозяйственного ведения, оперативного управления либо по иному основанию, предусмотренному законом или договором. Это лицо имеет право на защиту его владения также против собственника".

Кто принесёт Вам свидетельство о праве собственности на помещение, с тем и заключите потом договора аренды.

С кем заключать аренду на новый срок?

---похоже что собственник дома в котором вы арендуете помещение, ТСЖ или УК, к ним и обращайтесь. правда. бывает что аренду оформляет и местная администрация (как от имени собственника, так и от своего ), и с этим ничего не поделаете. кроме как обжаловать в суде. Для начала. вам нужно обратиться в Росреестр и выяснить собственника помещения. если это просто дом. то собственники УК или ТСЖ. и ещё один момент. арендатор имеет полное право поднять цену за аренду. и тем более. что вы им пользуетесь 5 лет. а цены растут неумолимо. так что. решайте этот вопрос с умом. не навредите и себе. в первую очередь. В отношении договоров аренды нежилых помещений следует включить существенное условие о необходимости установления размера арендной платы, предусмотренное п. 1 ст. 654 ГК РФ для аренды зданий и сооружений. Однако, если срок аренды в договоре не определен, договор аренды считается заключенным на неопределенный срок (п. 2 ст. 610 ГК РФ).