Должна ли я оповестить компанию о том, что я подала на нее иск в суд...

Если это арбитражный суд - должны предварительно направить им иск и копии документов, только потом уже подавать в арбитраж, с приложением почтовой квитанции о направлении ответчику пакета документов. Если суд общей юрисдикции (мировой судья, районный суд) - направляете иск и документы в необходимом количестве копий в суд, дальше суд оповестит ответчика своими силами.