Наследование квартиры в Беларуси - обязанность российского гражданина поставить ее на учет в налоговой?

Гл. 32 НК РФ этого не предусматривает. Не должен. По имуществу находящемуся в РФ налог платится.

Кроме этого о собственности в РФ в таком случае налоговую уведомляет Росреестр.

Вам не нужно платить налог и уведомлять налоговую службу в данном случае. Согласно закону N 78-ФЗ и Налоговому кодексу Российской Федерации физические лица не облагаются 13% налогом на доходы, полученные в результате наследства.

Согласно п.18, ст. 217 Налогового кодекса РФ все наследники, призванные к наследию покойного по завещанию или по закону, и вне зависимости от степени родственных отношений, освобождены от уплаты налога.

нет не должен, имущество полученное в дар, в порядке наследования и приватизации налогом не облагается ст 32 НК РФ

Нет не должен, т.к. налог на имущество платится в РБ, двойного налогообложения нет.

Соглашение между Правительством РФ и Правительством Республики Беларусь от 21.04.1995 "Об избежании двойного налогообложения и предотвращении уклонения от уплаты налогов в отношении налогов на доходы и имущество"

Статья 19

Имущество

1. Недвижимое имущество, о котором говорится в статье 6, являющееся собственностью лица с постоянным местопребыванием в одном Договаривающемся Государстве и находящееся в другом Договаривающемся Государстве, может облагаться налогом в этом другом Государстве.

2. Имущество, являющееся частью постоянного представительства, которое предприятие одного Договаривающегося Государства имеет в другом Договаривающемся Государстве, а также имущество, связанное с постоянной базой, находящейся в распоряжении лица с постоянным местопребыванием в одном Договаривающемся Государстве и расположенной в другом Договаривающемся Государстве для целей оказания независимых личных услуг, может облагаться налогом в этом другом Государстве.

3. Имущество, представленное транспортными средствами, упомянутыми в подпункте ж) пункта 1 статьи 3 и эксплуатируемыми в международных перевозках, принадлежащее лицу с постоянным местопребыванием в одном Договаривающемся Государстве, облагается налогом только в этом Государстве.

Полагаю, то Вам все же интересовало не законодательство РФ, а законодательство РБ. Согласно налоговому кодексу РБ на учет ставят не квартиры, а плательщиков налогов сборов и иных обязательных лиц:

Статья 13. Плательщики налогов, сборов (пошлин)

…1.2. стать на учет в налоговых органах в порядке и на условиях, установленных настоящим Кодексом…

нет, налоги за нее поглощает Белоруссия, а вот если вы ее сдаете то заработок и должны 13%

ВАМ ЧТО ДЕЛАТЬ НЕЧЕГО, НАЛОГИ ТО ВЫ ПЛАТИТЬ БУДЕТЕ ТАМ, на учет ставят имущество в РФ, глава 32 НК РФ и то, это сделают в госреестре РБ и никуда вам ходить не надо