Если нет, то как нам поступить?

Уважаемая Елена!

Во-первых, были ли вескими причины, побудившие вас заключить срочный трудовой договор? Иначе "трудовой договор, заключенный на определенный срок при отсутствии достаточных к тому оснований, установленных органом, осуществляющим государственный надзор и контроль за соблюдением трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, или судом, считается заключенным на неопределенный срок" (ст. 58 Трудового кодекса).

Во-вторых, "в случае, если ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением его срока, а работник продолжает работу после истечения срока трудового договора, трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок" (СТ.58 тк РФ). Как видно из вашего вопроса, срок действия договора истек (за три дня до истечения срока действия договора работодатель должен уведомить работника об этом - ст.79 ТК РФ). Таким образом, трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок.

В-третьих, "не допускается увольнение работника по инициативе работодателя (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности работодателем - физическим лицом) в период его временной нетрудоспособности"(ст. 81 ТК РФ).

Вам остается ожидать выздоровления работника, после чего он может быть уволен на общих основаниях (Глава 13 Трудового кодекса РФ).