Как я могу прописать в этой квартире своего маленького ребенка?

Если квартира кооперативная и пай выплачен, достаточно получить в Правлении этого кооператива справку о выплате пая. Этот документ будет являться правоустанавливающим и основанием для регистрации права. То есть-приватизация тут не при чем. Зарегистрировать малолетнего ребенка в квартире, в которой вы проживаете и в которой зарегистрированы вы можете, используя документ об объявлении матери в розыск. В отношении управления квартирой - смотрите ниже, две статьи из Гражданского кодекса РФ. Думаю, вам всё будет понятно=

Статья 42. Признание гражданина безвестно отсутствующим

Гражданин может быть по заявлению заинтересованных лиц признан судом безвестно отсутствующим, если в течение года в месте его жительства нет сведений о месте его пребывания.

При невозможности установить день получения последних сведений об отсутствующем началом исчисления срока для признания безвестного отсутствия считается первое число месяца, следующего за тем, в котором были получены последние сведения об отсутствующем, а при невозможности установить этот месяц - первое января следующего года.

Статья 43. Последствия признания гражданина безвестно отсутствующим

1. Имущество гражданина, признанного безвестно отсутствующим, при необходимости постоянного управления им передается на основании решения суда лицу, которое определяется органом опеки и попечительства и действует на основании договора о доверительном управлении, заключаемого с этим органом.

Из этого имущества выдается содержание гражданам, которых безвестно отсутствующий обязан содержать, и погашается задолженность по другим обязательствам безвестно отсутствующего.

2. Орган опеки и попечительства может и до истечения года со дня получения сведений о месте пребывания отсутствующего гражданина назначить управляющего его имуществом.

3. Последствия признания лица безвестно отсутствующим, не предусмотренные настоящей статьей, определяются законом.