Как быть, если работодатель не заполнил трудовую книжку при увольнении или не записал в нее данные о приеме на работу?

Да можно требовать средний заработок, если не внесение записи в трудовой стало причиной отказа нового работодателя в трудоустройстве

ст. 234 ТК РФ

Работодатель обязан возместить работнику не полученный им заработок во всех случаях незаконного лишения его возможности трудиться. Такая обязанность, в частности, наступает, если заработок не получен в результате:

незаконного отстранения работника от работы, его увольнения или перевода на другую работу;

отказа работодателя от исполнения или несвоевременного исполнения решения органа по рассмотрению трудовых споров или государственного правового инспектора труда о восстановлении работника на прежней работе;

задержки работодателем выдачи работнику трудовой книжки, внесения в трудовую книжку неправильной или не соответствующей законодательству формулировки причины увольнения работника;

Поэтому обращаетесь в суд с требованием внести запись в трудовую книжку и выплатить Вам средний заработок и моральный ущерб. заработок может и не взыщут, но Вы ничего не теряете, т.к. Ваши требования пошлиной не облагаются. Обращаю внимание, что срок исковой давности по делам об увольнении 1 месяц со дня получения трудовой книжки или приказа об увольнении.