Я госслужащий, мне 63 года. Можно ли вынудить моего работодателя заключить контракт на новый год?

Вынудить - нет. Формулировка закона не позволяет.

Федеральный закон от 31 июля 1995 г. N 119-ФЗ

"Об основах государственной службы Российской Федерации"

(с изменениями от 18 февраля 1999 г., 7 ноября 2000 г.)

" Статья 25. Основания для прекращения государственной службы

1. Государственная служба прекращается при увольнении государственного служащего, в том числе в связи с выходом на пенсию.

2. Помимо оснований, предусмотренных законодательством Российской Федерации о труде, увольнение государственного служащего может быть осуществлено по инициативе руководителя государственного органа в случаях:

1) достижения им предельного возраста, установленного для замещения государственной должности государственной службы;

3. Выход на пенсию государственного служащего осуществляется в порядке, установленном Федеральным законом. Предельный возраст для нахождения на государственной должности государственной службы - 60 лет. Допускается продление нахождения на государственной службе государственных служащих, занимающих высшие, главные и ведущие государственные должности государственной службы и достигших предельного для государственной службы возраста, решением руководителя соответствующего государственного органа. Однократное продление срока нахождения на государственной службе государственного служащего допускается не более чем на год.

Продление нахождения на государственной службе государственного служащего, достигшего возраста 65 лет, не допускается. После достижения указанного возраста он может продолжать работу в государственных органах на условиях срочного трудового договора".