Как правильно уволить сотрудника, нарушающего условия трудового договора и не отвечающего квалификационным требованиям?

Это прокуратурой установлен. А работодателем не установлен. Как табелировать, как обычно, он же еще не уволен. Можете и без аттестации уволить. Вряд-ли суд его восстановит при наличии представления прокурора.

Уведомить прокуратуру о том, что Вы не можете уволить работника, так как он находится на больничном.

После выхода с больничного конечно.

Статья 13. Порядок назначения и выплаты пособий по временной нетрудоспособности, по беременности и родам, ежемесячного пособия по уходу за ребенком

2. В случае, если застрахованное лицо на момент наступления страхового случая занято у нескольких страхователей и в двух предшествующих календарных годах было занято у тех же страхователей, пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам назначаются и выплачиваются ему страхователями по всем местам работы (службы, иной деятельности), а ежемесячное пособие по уходу за ребенком - страхователем по одному месту работы (службы, иной деятельности) по выбору застрахованного лица и исчисляются исходя из среднего заработка, определяемого в соответствии со статьей 14 настоящего Федерального закона, за время работы (службы, иной деятельности) у страхователя, назначающего и выплачивающего пособие.

Нет, не правильно. Если работала в течении 2-х лет и у Вас и по основному месту работы, то вправе получить и у Вас и по основному месту работы, если менее, то только по последнему основному.

Не соответствие должности и представление прокуратуры не имеет к вопросу оплаты больничного никакого отношения. Нет, не должны оплачивать, пусть обращается по основному месту работы для оплаты больничного. Дополнительно, к предыдущему ответу:

2.1. Если застрахованное лицо на момент наступления страхового случая занято у нескольких страхователей, а в двух предшествующих календарных годах было занято у других страхователей (другого страхователя), пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам, ежемесячное пособие по уходу за ребенком назначаются и выплачиваются ему страхователем по одному из последних мест работы (службы, иной деятельности) по выбору застрахованного лица.

2.2. Если застрахованное лицо на момент наступления страхового случая занято у нескольких страхователей, а в двух предшествующих календарных годах было занято как у этих, так и у других страхователей (другого страхователя), пособия по временной нетрудоспособности, по беременности и родам назначаются и выплачиваются ему либо в соответствии с частью 2 настоящей статьи страхователями по всем местам работы (службы, иной деятельности) исходя из среднего заработка за время работы (службы, иной деятельности) у страхователя, назначающего и выплачивающего пособие, либо в соответствии с частью 2.1 настоящей статьи страхователем по одному из последних мест работы (службы, иной деятельности) по выбору застрахованного лица.