Помогите, пожалуйста, подскажите что можно сделать и куда обратиться?

Так был прогул или нет? Увольнение можно оспорить, т.к. расчет и трудовая книжка были выданы не в последний день работы. Имейте ввиду, что у Вас всего 1 месяц для обращения в суд. В суде можете изменить позицию, отказавшись от восстановления на работу, если работодатель аннулирует запись об увольнении за прогул.

Кроме того, напишите жалобу в Гос трудовую инспекцию, фирме мало не покажется. Практически никто в России (кроме крупных компаний) не может работать без трудовых нарушений.

Р.S. Даже если запись будет аннулирована, трудовую книжку Вам все равно испортили. На новой работе увидят, что такая запись все-таки была. А еще увидят, что Вы судились - это не всем наравится. Если Вам не очень дорога книжка - заведите новую.

В данном случае прогул имеет место однозначно и Вы это понимаете. Заявление об увольнении также не спасло бы ситуацию, поскольку прогул имел место ранее чем заявление было подано, единственное ,если бы работник договорился с руководством и вопрос разрешился бы полюбовно, но как Вы пишите этого не произошло. Тем более как я поняла заявление было отдано секретарю не под расписку, т.е. действительно доказать факт подачи заявления невозможно. Но повторюсь заявление не решит всех проблем, поскольку было подано позднее самого прогула.

По судебной практике ситуацию может спасти только грубое нарушение процедуры оформления, но объяснительная с него бралась, увольнение 18 числом в данном случае считаю также правомерным. Вероятность восстановления в данном случае маловероятна. Можно попробовать обратиться в трудинспецию - может быть они что-нибудь нароют.