Работник, работающий по внешнему совместительству без выходных - законно ли это?

Нет конечно.

ТК РФ, Статья 284. Продолжительность рабочего времени при работе по совместительству

Продолжительность рабочего времени при работе по совместительству не должна превышать четырех часов в день. В дни, когда по основному месту работы работник свободен от исполнения трудовых обязанностей, он может работать по совместительству полный рабочий день (смену). В течение одного месяца (другого учетного периода) продолжительность рабочего времени при работе по совместительству не должна превышать половины месячной нормы рабочего времени (нормы рабочего времени за другой учетный период), установленной для соответствующей категории работников.

Ограничения продолжительности рабочего времени при работе по совместительству, установленные частью первой настоящей статьи, не применяются в случаях, когда по основному месту работы работник приостановил работу в соответствии с частью второй статьи 142 настоящего Кодекса или отстранен от работы в соответствии с частями второй или четвертой статьи 73 настоящего Кодекса.

При определении нормы рабочего времени следует руководствоваться ст. 91 ТК РФ, согласно которой нормальная продолжительность рабочего времени не может превышать 40 часов в неделю (продолжительность ежедневной работы 8 часов при 5-дневной рабочей неделе). Соответственно, для совместителей продолжительность рабочей недели не должна превышать 20 часов.

Таким образом, работая на условиях совместительства, работник не может занимать в организации полную ставку (штатную единицу), даже если по основному месту работы он трудится на 0,5 ставки.

ТК РФ, Статья 113. Запрещение работы в выходные и нерабочие праздничные дни.

Работа в выходные и нерабочие праздничные дни запрещается, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом.

Всего хорошего.