Как уволить работника за прогул и что делать при отказе подписать приказ на увольнение по собственному желанию?

ЗА прогул уволить нельзя, потому что, кроме актов отстутствия на рабочем месте, необходимо взять у работника объяснительную.

Что Вас смущает? Что работник может оспорить увольнение по собственному желанию? Тогда делайте все грамотно. У Вас должны быть: акт отсутствия на рабочем месте, служебная записка кадрового работника, что в течение дня работник не обращался за трудовой книжкой, копия письма с уведомлением получить трудовую книжку (вы уже послали) копия письма о согласии на отправление трудовой книжки по почте плюс копия приказа об увольнении (рекомендую послать!) почтовые квитанции, служебная записка главного инженера, которому удалось до сотрудника дозвониться.

ч.6 ст. 84.1 Трудового Кодекса РФ "в случае, когда в день прекращения трудового договора выдать трудовую книжку работнику невозможно в связи с его отсутствием либо отказом от ее получения, работодатель обязан направить работнику уведомление о необходимости явиться за трудовой книжкой либо дать согласие на отправление ее по почте. Со дня направления указанного уведомления работодатель освобождается от ответственности за задержку выдачи трудовой книжки..."

что касается приказа, то в соответствии с ч.2 ст.84.1 Трудового Кодекса ...в случае,когда приказ (распоряжение) о прекращении трудового договора невозможно довести до сведения работника или работник отказывается ознакомиться с ним под роспись, на приказе производится соответствующая запись.

сделайте запись на приказе, в связи с чем невозможно ознакомление.

отправляйте ему каждый день смс уведомления о том, чтобы он забрал трудовую и получил расчет;

Даже если работник взял больничный лист - все равно Вы имеете право его уволить, так как он увольняется по собственному желанию. Правда, больничный лист придется оплатить.

Удачи.