Можно ли уволить сотрудника за прогулы через столь короткий промежуток времени после приема на работу?

Не имеют права в данном случае вообще увольнять за прогул. В силу подпункта "а" пункта 6 части 1 статьи 81 ТК РФ, трудовой договор с работником может быть расторгнут по инициативе работодателя за прогул (отсутствие на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены) независимо от его (ее) продолжительности, а также отсутствие на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены). Таким образом, главным признаком прогула является отсутствие уважительных причин неявки сотрудника на работу. При этом отсутствие сотрудника на работе по причине нахождения под административным арестом не может являться прогулом, поскольку не зависит от воли работника. Соответственно, в случае увольнения работник вправе в течение 1 месяца обратиться в районный суд (можно и по месту своего жительства - пункт 6.3 статьи 29 ГПК РФ) с иском о признании увольнения незаконным, восстановлении на работе, взыскании компенсации вынужденного прогула и компенсации морального вреда. Не советую тратить этот срок на переписки с работодателем/трудовой инспекцией/прокуратурой - в решении проблемы это не поможет, а срок будет пропущен по неуважительной причине, с соответствующими процессуальными последствиями. Такие дела.