Возможно ли оформление доверенности на банковские счета родственника, находящегося в состоянии белой горячки, с помощью нотариуса в больнице?

Здравствуйте, нет не можете. Он не осознает своих действий и соответственно его действия недействительны.

Вы можете признать его недееспособным и получить опекунство над ним.

Статья 29 ГК РФ. Признание гражданина недееспособным

1. Гражданин, который вследствие психического расстройства не может понимать значения своих действий или руководить ими, может быть признан судом недееспособным в порядке, установленном гражданским процессуальным законодательством. Над ним устанавливается опека.

Согласно ГПК РФ

Глава 29. ПРИЗНАНИЕ ГРАЖДАНИНА ОГРАНИЧЕННО ДЕЕСПОСОБНЫМ ИЛИ НЕДЕЕСПОСОБНЫМ

Статья 258. Подача заявления

Дело о признании гражданина ограниченно дееспособным вследствие злоупотребления спиртными напитками или наркотическими веществами либо недееспособным вследствие душевной болезни или слабоумия может быть начато по заявлению членов его семьи, профсоюзов и иных общественных организаций, прокурора, органа опеки и попечительства, психиатрического лечебного учреждения.

Заявление о признании гражданина ограниченно дееспособным или недееспособным подается в суд по месту жительства данного гражданина, а если лицо помещено в психиатрическое лечебное учреждение, то по месту нахождения лечебного учреждения.