Нужно ли мне проработать два дополнительных дня после написания заявления об увольнении?

Два отработанных до подачи заявления дня не учитываются. Заявление нужно подать не менее, чем за три дня до расторжения трудового договора. Течение трехдневного срока начинается со дня, следующего за днем подачи заявления. Если вчера подали заявление, то рабочие дни 1,2,3 марта. Если по рабочему графику на 3 марта выпадает выходной, то последний рабочий день 4 марта.

Статья 14 ТК РФ. Исчисление сроков

Течение сроков, с которыми настоящий Кодекс связывает прекращение трудовых прав и обязанностей, начинается на следующий день после календарной даты, которой определено окончание трудовых отношений.

Сроки, исчисляемые годами, месяцами, неделями, истекают в соответствующее число последнего года, месяца или недели срока. В срок, исчисляемый в календарных неделях или днях, включаются и нерабочие дни.

Если последний день срока приходится на нерабочий день, то днем окончания срока считается ближайший следующий за ним рабочий день.

Тогда все зависит от того, есть ли у вас подтверждение получения заявления работодателем. Формально повод уволить вас за прогул у работодателя есть - вы отсутствовали на рабочем месте 3 дня - время "отработки". Но, для увольнения по данному основанию работодатель обязан затребовать у работника пояснения о причинах отсутствия на рабочем месте, срок предоставления которых-2 дня (ст. 192 ТК). Поскольку работодатель должен уволить вас сегодня, этого времени у него нет, а обязанность уволить вас 01.03. по вашему заявлению - есть, иначе работодатель нарушит закон. Требование отработки дней после истечения срока предупреждения об увольнении - незаконно.

Отработка положена в силу закона. Если работодатель на ней не настаивал, то возможно было расторгнуть трудовой договор до истечения срока предупреждения (3 дня) либо, например, оформить на эти з дня отпуск без сохранения заработной платы - это чтобы не создалась такая непонятная для вас и неприятная ситуация.

Я вам привела положения закона, которые регулируют вашу ситуацию. Как действовать в ней - решать вам. Если у вас есть на руках заявление об увольнении сегодняшней датой и отметкой работодателя о его получении - можете настаивать на увольнении сегодняшней датой. По основанию увольнения - трудно сказать, не решится ли работодатель уволить вас "по статье", в нарушение закона.

Что касается "работать не кому" - это не аргумент с точки зрения закона и вас он касаться не должен, обеспечение кадрами - это обязанность работодателя, а не работника.