Вопрос - может ли гражданин России на украинском автомобиле по доверенности въехать на территорию России?

Имеет право. Т.к. не собственник и не будет растомаживать, то авто будет находиться под режимом временного ввоза согласно ст.219, 264 Таможенного кодекса Евразийского экономического союза (приложение N 1 к Договору о Таможенном кодексе Евразийского экономического союза от 11 апреля 2017 г.).

Да, имеет право. Поскольку такая доверенность признается в РФ (ст. 185 ГК РФ). Но придется машину растаможить, если он захочет оставить ее тут навсегда.

Нет не имеет право, при временном ввозе имеет право управлять только собственник.

Таможенный кодекс Евразийского экономического союза" (приложение N 1 к Договору о Таможенном кодексе Евразийского экономического союза)

ТК ЕАЭС Статья 264. Временный ввоз транспортных средств для личного пользования

1. Допускается временный ввоз на таможенную территорию Союза иностранными физическими лицами транспортных средств для личного пользования, зарегистрированных в государстве, не являющемся членом Союза, на срок не более 1 года.

Допускается временный ввоз на таможенную территорию Союза иностранными физическими лицами, указанными в пункте 2 статьи 259 настоящего Кодекса, транспортных средств для личного пользования, не зарегистрированных в государствах-членах и в государстве, не являющемся членом Союза, на срок не более 1 года.