Возможно ли избежать возврата денег департаменту здравоохранения за обучение, если я отработала только часть установленного срока

Вы вправе оплатить задолженность только пропорционально отработанному времени. Указанные договор по своей сути является ученическим договором и может заключаться не только с работником, но и с гражданином ищущим работу (такой договор в ФЗ "Об образовании" еще называют - договор целевого обучения).

Нормы права:

Глава 32. УЧЕНИЧЕСКИЙ ДОГОВОР

Статья 198. Ученический договор

Работодатель - юридическое лицо (организация) имеет право заключать с лицом, ищущим работу[u][/u], или с работником данной организации ученический договор на получение образования без отрыва или с отрывом от работы.

(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

А теперь к вопросу возмещения затрат на обучение:

Статья 249. Возмещение затрат, связанных с обучением работника

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

В случае увольнения без уважительных причин до истечения срока, обусловленного трудовым договором или соглашением об обучении за счет средств работодателя, работник обязан возместить затраты, понесенные работодателем на его обучение, исчисленные пропорционально фактически не отработанному после окончания обучения времени, если иное не предусмотрено трудовым договором или соглашением об обучении.

А теперь самое интересное. Срок исковой давности по трудовым спорам:

Статья 392. Сроки обращения в суд за разрешением индивидуального трудового спора

Работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Министерство Здравоохранения Краснодарского края в данном случае в отношении Вас бывший работодатель. И возникший спор регулируется нормами трудового законодательства, на этот счет есть неоднократные разъяснения Верховного Суда РФ. Всего доброго!