Может ли начальник отказать в подписании заявления на выходные дни из-за производственной необходимости?

Может и не подписать.

Но предоставить день отдыха обязан согласно ст. 186 ТК РФ Гарантии и компенсации работникам в случае сдачи ими крови и ее компонентов

В день сдачи крови и ее компонентов, а также в день связанного с этим медицинского осмотра работник освобождается от работы.

(в ред. Федерального закона от 25.11.2013 N 317-ФЗ)

В случае, если по соглашению с работодателем работник в день сдачи крови и ее компонентов вышел на работу (за исключением работ с вредными и (или) опасными условиями труда, когда выход работника на работу в этот день невозможен), ему предоставляется по его желанию другой день отдыха.

(в ред. Федерального закона от 28.12.2013 N 421-ФЗ)

В случае сдачи крови и ее компонентов в период ежегодного оплачиваемого отпуска, в выходной или нерабочий праздничный день работнику по его желанию предоставляется другой день отдыха.

После каждого дня сдачи крови и ее компонентов работнику предоставляется дополнительный день отдыха. Указанный день отдыха по желанию работника может быть присоединен к ежегодному оплачиваемому отпуску или использован в другое время в течение года после дня сдачи крови и ее компонентов.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

При сдаче крови и ее компонентов работодатель сохраняет за работником его средний заработок за дни сдачи и предоставленные в связи с этим дни отдыха.

(в ред. Федерального закона от 22.08.2004 N 122-ФЗ)

Удачи.