Может ли работодатель требовать платный анализ антител, недоступный в прикрепленной клинике?

Не имеет значение, Вы такой же сотрудник организации, как и все остальные. Может быть такое, что организация не может сама заключить договор на тестирование, тогда Вам должны возместить денежные средства. Но бюджетные организации (школы, сады, МФЦ и др) обязали проводить такие исследования.-Постановление Губернатора МО от 12.03.2020 N 108-ПГ (ред. от 20.08.2020)

"О введении в Московской области режима повышенной готовности для органов управления и сил Московской областной системы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций и некоторых мерах по предотвращению распространения новой коронавирусной инфекции (COVID-2019) на территории Московской области"-Постановление Губернатора МО от 12.03.2020 N 108-ПГ (ред. от 20.08.2020) "О введении в Московской области режима повышенной готовности для органов управления и сил Московской областной системы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций и некоторых мерах по предотвращению распространения новой коронавирусной инфекции (COVID-2019) на территории Московской области" (с изм. и доп., вступающими в силу с 24.08.2020)

Поймите, тут не важно, где Вы живете, тут будет важно где Вы работаете, так как это обязанность организации, а соответственно организовать тестирование должны они, а не Вы бегать искать.

Для Московских организаций:

п. 2.5. Приложения 6 к Указу Мэра Москвы от 05.03.2020 N 12-УМ Обеспечить в период с 1 июня 2020 г. в течение каждых 15 календарных дней проведение указанных в пункте 2.4 настоящих требований исследований в отношении не менее 10 процентов работников.

П. 2.6. Приложения 6 к Указу Мэра Москвы от 05.03.2020 N 12-УМ Обеспечить взятие крови у работников для проведения лабораторного исследования методом иммуноферментного анализа (ИФА) на наличие новой коронавирусной инфекции (2019-nCoV) и иммунитета к ней в порядке и сроки, установленные Департаментом здравоохранения города Москвы.