Или же нужно увольнять по собственному желанию, но тогда как быть с тем, что день увольнения - это последний рабочий день?

Уважаемая Светлана! Я считаю, вашу ситуацию можно разрешить следующим образом. Да, наличие уважительных причин и неистечение недельного срока не могут служить основанием для анулирования трудового договора согласно ст. 61 ТК (а аннулирование договора ведёт к его недействительности, то есть это устанавливает тот факт, что данный работник у вас вообще не работал, а если в его трудовую книжку уже внесена запись, то она делается недействительной в связи с анулированием договора). Таким образом, в вашем случае трудовой договор с работником не аннулируется, но только в том случае, если у работника были действительно уважителные причины (он должен их доказать вам: принести справку и пр.). При этом имейте ввиду, что уважительность невыхода на работу и уважительность причин, по которым работник не хочет больше работать - это разные вещи и здесь нужно иметь ввиду именно уважительность невыхода работника на работу в установленный в договоре срок. Если же уважительные причины были, то договор не аннулируется и работник обязан выйти на работу после того, как эти причины отпали, а в противном случае он может быть уволен за прогул. В вашем ситуации работник не захотел больше работать у вас и это его право. Однако работник также должен соблюдать ТК РФ и если продолжал считаться вашим работником по причине того, что договор не был анулирован, то это своё нежелание он должен был выразить в установленной форме, то есть написать соотевтствующее заявление об увольнении по собственному желанию. По уважительным причинам он может быть уволен по собственному желанию в тот же день, в который написал такое заявление (ст. 80 ТК РФ). И поскольку увольнение возможно только в рабочий день, то этот день работнику должен быть оплачен. Также имейте ввиду, что до недавнего времени трудовые книжки заводились только на тех работников, которые отработали более 5-ти дней у данного работодателя.