Как защитить себя от взыскания за жилплощадь, которой не пользуешься - возможен ли восстановление кассационного срока?

Нет не можете. Взыскание исполнительского сбора имеет другую юридическую природу.

Согласно ст. 112 Федерального закона от 02.10.2007 N 229-ФЗ "Об исполнительном производстве"

1. Исполнительский сбор является денежным взысканием, налагаемым на должника в случае неисполнения им исполнительного документа в срок, установленный для добровольного исполнения исполнительного документа, а также в случае неисполнения им исполнительного документа, подлежащего немедленному исполнению, в течение суток с момента получения копии постановления судебного пристава-исполнителя о возбуждении исполнительного производства. Исполнительский сбор зачисляется в федеральный бюджет.

Простыми словами, исполнительский збор, эта ещё одна мера ответственности должника за не исполнение, не своевременное исполнение решения суда и взыскивается в пользу государства. Таким образом если основной долг по которому вынесено судебное решение погашен должником, но погашен не своевременно, то судебный пристав продолжает его взыскивать после окончания исполнительного производства по основному долгу, возбудив новое исполнительное производство.

Согласно той же статьи, 112, 229-ФЗ, должник вправе, обратиться в суд с заявлением об оспаривании постановления судебного пристава о взыскания исполнительского сбора (ч.6). В данном случае вам необходимо доказать, что задолженность была погашена своевременно, при этом восстановив пропущенный срок.