Нужно ли писать эти заявления что бы удалить или аннулировать запись в ЭТК?

Официально Вы не утроились на работу.

Нет Вашего заявления о приеме на работу. С приказом о приеме не ознакомлены (ст.68 ТК РФ).

Трудовой договор не заключен согласно ст.61-67 ТК РФ.

Статья 61. Вступление трудового договора в силу

Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.

Работник обязан приступить к исполнению трудовых обязанностей со дня, определенного трудовым договором.

Если в трудовом договоре не определен день начала работы, то работник должен приступить к работе на следующий рабочий день после вступления договора в силу.

Если работник не приступил к работе в день начала работы, установленный в соответствии с частью второй или третьей настоящей статьи, то работодатель имеет право аннулировать трудовой договор. Аннулированный трудовой договор считается незаключенным.

Но в ЭТК есть запись о приеме, то пишите заявление что трудовой договор не заключен и просите аннулировать запись в ЭТК о приеме на работу.

При отказе обращайтесь в суд с требованиями аннулировать запись в ЭТК.