Имеет ли право руководитель просить работника работать в выходной день только за отгул.

Привлечение работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни производится с их письменного согласия в случае необходимости выполнения заранее непредвиденных работ, от срочного выполнения которых зависит в дальнейшем нормальная работа организации в целом или ее отдельных структурных подразделений, индивидуального предпринимателя (ст. 113 ТК РФ)

Работа в выходной или нерабочий праздничный день оплачивается не менее чем в двойном размере.

По только по Вашему желанию Вам может быть предоставлен другой день отдыха. В этом случае работа в выходной или нерабочий праздничный день оплачивается в одинарном размере, а день отдыха оплате не подлежит (ст. 153 ТК РФ)