Как узнать, что военкомат получил информацию о смене регистрации в МФЦ?

МФЦ не обязан никого информировать.

В соответствии со ст. 10 ФЗ "О воинской обязанности и военной службе" от 28.03.1998 N 53-ФЗ в целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:

явиться в указанные в повестке военного комиссариата время и место либо по вызову местной администрации соответствующего поселения, муниципального или городского округа, осуществляющей первичный воинский учет;

сообщить в письменной или электронной форме через Портал государственных и муниципальных услуг (функций) в военный комиссариат либо в местную администрацию соответствующего поселения, муниципального или городского округа, осуществляющую первичный воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы (учебы) или должности, сведения о переезде на новое место пребывания, не подтвержденные регистрацией, либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию либо явиться в военный комиссариат в двухнедельный срок со дня наступления указанных событий (при отсутствии уведомления от военного комиссариата об изменении сведений в автоматизированном режиме с учетом требований статьи 8.1 настоящего Федерального закона)

За неисполнение гражданами обязанностей по воинскому учету предусмотрена административная ответственность по ст. 21.5 КоАП РФ.