Могу подать на лишение родительских прав?

Думаю, что лучше подать такой иск все-таки после вступления решения в силу (немедленное исполнение - для взыскания алиментов, прочие права и обязанности возникнут после вступления в силу решения суда).

Но для лишения родительских прав нужны установленные законом основания, а в вопросе Вы не указываете причин, по которым планируете лишение.

Можно подать,только для лишения нужны основания в силу ст.69 СК РФ ,а основное - наличие задолженности по алиментам.Если решение не вступило в силу ,он пока и не отец. Вы же хотите ,что бы суд ваш иск о лишении удовлетворил ,взыщите алименты и через полгода неуплаты подавайте.

Нельзя до вступления решения в законную силу

можете подать, но Вам откажут в удовлетворении иска, если из оснований у Вас только желание лишить отца детей прав

Ну а какие основания могут быть для лишения его родительских прав? Он же только-только их получает фактически, как Вы можете рассказывать суду, какой он плохой отец, если он отцом -то и не был?

Вам откажут в удовлетворении такого иска, хоть Вы до вступления в силу подадите, хоть после. Иск к производству примут, будут заседания, дело рассмотрят, в удовлетворении иска откажут. Потеряете только время, нервы и т.д.

Работайте с юристом, имеющим опыт в такого рода делах.

То что Вам хочется побыстрее это не основание суда удовлетворять такие иски, мало ли кому что хочется