Подскажите в двух недельную отработку при увольнении входят суббота и воскресенье или считаются только рабочие дни?

Суббота и воскресение входят, так как в трудовом законодательстве сейчас время исчисляется в календарных днях (за редким исключением, к коим ваш случай не подходит).

Что касается вашего отсутствия, то все надо было фиксировать на бумаге. Вы можете отсутствовать будучи в отпуске (ежегодном, без сохранения зарплаты, по уходу за ребенком, и пр.), Вам был предоставлен выходной, Вы болели. В любом случае должен быть оправдательный документ (приказ о предоставлении отпуска, дней отдыха и пр., листок нетрудоспособности).

К сожелнию устные договоренности к делу не подошьешь.

Желаю успеха!