Обязаны ли работнику предоставить отпуск ровно через 11 месяцев после устройства на работу?

Скорее да, чем нет. Есть две нормы: 1) Ст. 122 ТК РФ "Оплачиваемый отпуск должен предоставляться работнику ежегодно.Право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя. По соглашению сторон оплачиваемый отпуск работнику может быть предоставлен и до истечения шести месяцев". Т.е. у работкика и работодателя есть 5 месяцев, чтобы договориться о времени использования отпуска. И следовательно, если за 5 месяцев не договорились, то на 12 месяце работника должны отпустить в отпуск, т.к. он предоставляется ежегодно (при этом год исчисляется со дня приема на работу). Однако....

2) ст. 124 ТК РФ В исключительных случаях, когда предоставление отпуска работнику в текущем рабочем году может неблагоприятно отразиться на нормальном ходе работы организации, индивидуального предпринимателя, допускается с согласия работника перенесение отпуска на следующий рабочий год. При этом отпуск должен быть использован не позднее 12 месяцев после окончания того рабочего года, за который он предоставляется.

Исключительные это практически непредвиденные, уникальные обстоятельства, которых, я думаю, в вашем случаее нет. Поэтому отпуск должны предоставить за отработанный год.