Возможно ли обратиться в суд по поводу неподходящей должности при досрочном сокращении в государственном учреждении?

Да можно. в течение месяца после увольнения обратиться в суд.Можете проработать 2 месяца и после увольнения также подать иск.

я хочу обратиться в суд, можно ли будет это сделать ,если я напишу заявление о досрочном сокращении

В этом случае у вас в суде могут спросить о доказательствах нарушения ваших трудовых прав при том, что вы явно выразили волю быть уволенной по сокращению штата.

При расторжении трудового договора в связи с ликвидацией организации (п. 1 ч. 1 ст. 81 ТК ) либо сокращением численности или штата работников организации (п. 2 ч. 1 ст. 81 ТК) увольняемому работнику выплачивается выходное пособие в размере среднего месячного заработка, а также за ним сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше двух месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия).

В исключительных случаях средний месячный заработок сохраняется за уволенным работником в течение третьего месяца со дня увольнения по решению органа службы занятости населения при условии, если в двухнедельный срок после увольнения работник обратился в этот орган и не был им трудоустроен.

При проведении мероприятий по сокращению численности или штата работников организации работодатель обязан предложить работнику другую имеющуюся работу (вакантную должность).

О предстоящем увольнении в связи с ликвидацией организации, сокращением численности или штата работников организации работники предупреждаются работодателем персонально и под роспись не менее чем за два месяца до увольнения.

Работодатель с письменного согласия работника имеет право расторгнуть с ним трудовой договор до истечения срока, указанного в части второй настоящей статьи, выплатив ему дополнительную компенсацию в размере среднего заработка работника, исчисленного пропорционально времени, оставшемуся до истечения срока предупреждения об увольнении. (ст.ст. 178, 180 ТК РФ).

В случае нарушения упомянутой процедуры Вы вправе обратиться в суд. Срок для обращения в суд 1 месяц с момента увольнения в случае, если спор идёт об увольнении и 3 месяца в других случаях.