Компенсируются ли работодателем курсы повышения квалификации и обязан ли работник писать заявление на неоплачиваемый отпуск?

курсы повышения квалификации оплачиваются(), это же надо и работодателю, что бы вы были более профессиональны.

Необходимость профессиональной подготовки и переподготовки кадров для собственных нужд определяет работодатель (ч. 1 ст. 196 ТК РФ). При этом условия и порядок повышения квалификации должны быть установлены коллективным договором или соглашением, трудовым договором (ч. 2 ст. 196 ТК РФ).

Так же вы в праве отказаться.

Никаких неоплачиваемых отпусков не требуется.