Возможно ли подать заявление на отпуск с последующим увольнением без отработки двух недель при отсутствии в отпуске более шести месяцев?

Настоятельно рекомендую отпуск согласовать, а не делать все молча по почте. Можно получить прогул. Потому что обязанности соглашаться на отпуск у работодателя нет.

В зависимости от ситуации (отношений с руководством, количества дней отпуска у вас (пишу, потому что ранее вы могли и авансом сходить) выбирайте о чем вам заявить ранее - об увольнении и об отпуске. В отпуске можно уволиться по собственному без проблем, если дней хватает.

Статья 127. Реализация права на отпуск при увольнении работника

При увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.

По письменному заявлению работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим увольнением (за исключением случаев увольнения за виновные действия). При этом днем увольнения считается последний день отпуска.

При увольнении в связи с истечением срока трудового договора отпуск с последующим увольнением может предоставляться и тогда, когда время отпуска полностью или частично выходит за пределы срока этого договора. В этом случае днем увольнения также считается последний день отпуска.

При предоставлении отпуска с последующим увольнением при расторжении трудового договора по инициативе работника этот работник имеет право отозвать свое заявление об увольнении до дня начала отпуска, если на его место не приглашен в порядке перевода другой работник.