Нужен ли апостиль при взаимоотношениях России и США.

Нет не нужен , при взаимотношениях между странами все строиться на дипломатических отношениях и договорных отношениях а также участию в декларациях/ конвенциях ООН. Может вы имели ввиду представление документов РФ и США в обычных гражданских правоотношениях, то есть в браке? В этом случае ДА, нужен.

Апостиль принят в рамках Гаагской конференции по частному международному праву. Это конвенция называется "Конвенция, отменяющая требование легализации иностранных официальных документов". Ее название не означает, что документы совсем не надо заверять. Отменяется именно легализация (понимаемая как консульское или дипломатическое заверение), а взамен вводится новая процедура заверения, более простая и унифицированная.

Процедура, предписываемая Конвенцией, состоит в том, что в стране происхождения документа к нему прилагается специальный сертификат (или ставится штамп), называющийся "Апостиль". В верхней части сертификата обязательно имеется надпись на французском языке "APOSTILLE (Convention de la Haye du 5 octobre 1961)". Документы, заверенные таким образом, принимаются без дальнейшего заверения (но, возможно, потребуется перевод) во всех других странах - участниках Конвенции.

То есть Апостиль применяется к документам подписанными уполномоченными органами государства, как то свидетельства, дипломы, патенты, нотариальное заверение итд

По практике, как мне говорили многие адвокаты, при отсутствие апостиля, документ все равно принимается. Хотя в России всегда требуется апостить для документов из других стран.