Как справиться с ситуацией, если нужно отработать 2 недели после написания заявления об увольнении и уже найдена новая работа в другом городе?

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Да, может служить причиной. Главное правильно составьте заявление с указанием причины и документально подтвердите переезд(справка, что Вас берут на работу с такого то числа..)